Тепловая изоляция конструкций различного назначения и, прежде всего, трубопроводов, а также цилиндрических и сферических сосудов имеет целью уменьшение проходящего через них теплового потока. Этого можно достичь в том случае, если в результате нанесения на поверхность тела теплоизолирующего материала величина термического сопротивления конструкции возрастает.

Рассмотрим фрагмент конструкции до нанесения тепловой изоляции (рис. 1, а) и после ее нанесения (рис. 1, б).

В этом случае термическое сопротивление неизолированной конструкции равно:

а после нанесения слоя изоляции на ее наружную поверхность имеем

где λ _из – коэффициент теплопроводности теплоизолирующего материала.

Изменение термического сопротивления изолированной конструкции равно

Функция ΔR_T,из согласно (2′) равна сумме двух слагаемых, имеющих разные знаки. С ростом x₃ первое из этих слагаемых возрастает, а второе – уменьшается. Физический смысл такого их поведения состоит в том, что первое слагаемое в (2′), равное

представляет собой термическое сопротивление переносу тепла теплопроводностью через тепловую изоляцию, возрастающее с увеличением x₃,   т.е. с увеличением толщины изоляции. Второе же слагаемое в (2′) представляет собой изменение  термического сопротивления переносу тепла конвекцией со стороны окружающей конструкцию наружной среды, вызванное увеличением площади наружной поверхности (для цилиндра и шара, когда s>1) вследствие нанесения тепловой изоляции, убывающее с увеличением x₃, так как имеет место неравенство

Очевидно, что нанесение тепловой изоляции должно приводить к тому, чтобы изменение термического сопротивления конструкции было положительной величиной ΔR_T,из > 0, так как именно это и дает уменьшение теплового потока через теплоизолированную конструкцию. В итоге при известных  α₂, x₂, x3_, λ _из приходим к необходимости выполнения неравенства

Выбираем для цилиндрической трубы величину s = 2 ± e (см. тепловой поток через однослойный полый
цилиндр при ГУ-I) и получаем на основании (3) следующее ограничение на коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала:

Анализ формулы (4) показывает, что для неограниченной пластины (s = 1) имеем λ _{из <} ∞, т.е. нанесение на пластину любого материала с конечной теплопроводностью приводит к уменьшению теплового потока через нее.

Для полого цилиндра (s = 2) в правой части (4) получаем неопределенность вида 0 / 0, раскрытие которой по правилу Лопиталя дает

и, наконец, для полого шара (s = 3) получаем

Выясним влияние координаты x₂ наружной поверхности тела (а, точнее говоря, кривизны этой поверхности 1/x₂) на эффективность нанесения тепловой изоляции с наперед заданным коэффициентом теплопроводности λ _из изоляционного материала. С этой целью проведем анализ на наличие экстремума функции ΔR_T,из по аргументу x₂. Первая производная от ΔR_T,из по x₂ дает

Так как  x₂^—s ≠ 0, то получаем так называемое критическое значение координаты x₂ равным

Так как x₂ представляет собой радиус цилиндра, то вместо (9) имеем хорошо известный в теплотехнике результат:

Покажем, что в точке x_2кр функция ΔR_T,из действительно достигает экстремума и этим экстремумом является минимум. Используя левую часть (7), имеем

Тем самым доказано, что функция ΔR_T,из действительно имеет экстремум, которым является минимум.

Практическим приложением полученного результата является то, что нанесение тепловой изоляции на поверхность цилиндрической трубы приводит к увеличению термического сопротивления ΔR_T,из, а следовательно, к уменьшению теплового потока Q через нее лишь в том случае, когда наружный диаметр трубы d₂ > d_2кр. В противном случае, нанесение тепловой изоляции на наружную поверхность трубы приведет к противоположному эффекту.

Графическая иллюстрация проведенного выше анализа дана на рис. 2, на котором линии а и б соответствуют непрерывному уменьшению тепловых потерь через конструкцию (росту ее суммарного термического сопротивления ΔR_T,l,из) при d₂ ≥ d_2кр, а линия б соответствует противоположному случаю  d₂ < d_2кр, когда нанесение тепловой изоляции до порогового значения  не приводит к полезному эффекту. Величина d_из.п равна  2х_3,п и находится из формулы (2′) при ΔR_T,из = 0.

Из (8) следует, что для полого шара (s = 3) критический диаметр наружной поверхности оказывается вдвое больше критического диаметра наружной поверхности цилиндра.

Все приведенные здесь результаты получены в предположении того, что одинаковы значения коэффициента теплоотдачи α₂ со стороны среды, омывающей наружную поверхность как неизолированного, так и теплоизолированного тела.

Источник: Теория и прикладные задачи тепломассопереноса: учебное пособие / Н. М. Цирельман. — М.: Машиностроение, 2011. — 503 с.